변수분리형 상미분방정식(Separable ODEs)
1계 상미분방정식은 여러 형태를 가진다. 그 중 가장 풀기 쉬우면서 특수한 형태로는 변수분리형 미분방정식이 있다.
$g(y)y’=f(x)$ 꼴
가장 기본적인 형태로 이를 푸는 방법은 다음과 같다.
[예제1]
$y’=2xy(1-y)(1+y)$
풀이
$$\frac{1}{y(1-y)(1+y)}dy=2xdx$$$$\int_{}^{} \left(\frac{2}{y}-\frac{-1}{1-y}-\frac{1}{1+y}\right)dy=2x^2+C$$
$$\frac{y^2}{1-y^2}=Ce^{2x^2}$$
$$\therefore y=\pm\sqrt{\frac{Ce^{2x^2}}{1+Ce^{2x^2}}}$$
동차 미분방정식(Homogeneous ODE)
동차 미분방정식은 다음과 같이 표현된다.
$u=\frac{y}{x}$라 두면, $y’=u’x+u$로 표현되므로 미분방정식은 다음과 같이 표현된다.
이는 $u$와 $x$에 대한 변수분리형 방정식이므로 $g(u)u’=f(x)$ 꼴로 표현하면,
이를 통해 해는 $y=ux$의 형태로 구할 수 있다.
[예제2]
$x(\ln x-\ln y-1)y’+y=0$
풀이
$$u=\frac{y}{x}, y'=u'x+u$$$$\left(\ln \frac{1}{u} -1\right)(u'x+u)+u=0$$
$$-\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{u\ln u}\right)du=\frac{1}{x}dx$$
$$-\int_{}^{}\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{u\ln u}\right)du=\int_{}^{}\frac{1}{x}dx$$
$$-\ln |u|-\ln |\ln u|=\ln |x|+C$$
$$\ln x|u \ln u|=1$$
$$x\vert \frac{y}{x}\ln \frac{y}{x} \vert=e$$
$$\therefore y\ln \frac{y}{x}=e$$
$y’=f(x, y)$ 꼴
위를 변형한 형태로는 다음과 같은 꼴이 존재한다.
이는 $u=g(x,y)$로 치환하여 풀 수 있는 형태로 바꾸는 것이 목표이다.
이때, $y’$은 $u, u’$으로만 표현되도록 설정한다.
[예제3]
$(2x-4y+5)y’+x-2y+3=0$
풀이
$$u=x-2y, u'=1-2y'$$$$(2y+5)\left(\ \frac{1-u'}{2}\right)+u+3=0$$
$$\frac{2u+5}{4u+11}du=dx$$
$$\int_{}{}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8u+22}\right)du=\int_{}{}dx$$
$$\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}\ln|8u+22|=x+C$$
$$4x+8y+\ln|4x-8y+11|=C$$
준동차 미분방정식(Quasi Homogeneous ODE)
준동차 미분방정식은 다음과 같이 표현되는 방정식으로, 동차 미분방정식을 변환하여 풀 수 있다.
이때, $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 중 하나 이상은 상수항을 포함한다.
따라서 동차 미분방정식으로 형태로 바꾸기 위해 상수항을 제거되도록 치환한다.
$u=\frac{Y}{X}$, $Y’=u’X+u$로 표현되므로 변수분리형 미분방정식으로 변환되어 해를 구할 수 있다.
[예제4]
$y’=-\frac{3x+y-10}{x+3y-6}$
풀이
$$ \begin{cases}3x+y-10=0\\x+3y-6=0\end{cases} , \begin{cases}y-1=Y\\x-3=X\end{cases}$$
$$ u=\frac{Y}{X}, Y'=u'X+u, y'=Y'$$
$$ u'X+u=-\frac{3+u}{1+3u}$$
$$ \frac{6u+2}{3u^2+2u+3}du=-\frac{2}{X}dX$$
$$ \ln |3u^2+2u+3|=-2\ln |X|+C$$
$$ X^2(3u^2+2u+3)=C$$
$$ 3Y^2+2XY+3X^2=C$$
$$ 3(x+y-4)^2-4(x-3)(y-1)=C$$
댓글남기기